Definição:
É definido como uma equação como toda e qualquer igualdade (=) que somente pode ser satisfeita para alguns valores que estejam agregados em seus domínios. Exemplos:
3x – 4 = 2 à o número X que é desconhecido recebe o termo de incógnita.
3y + 4 = 7 à o número Y que é desconhecido recebe o termo de incógnita.
Desta forma acima, é impossível afirmar se a igualdade do problema é verdadeira ou falsa, pois os valores das incógnitas são desconhecidos. É possível verificar que as equações acima se tornam verdadeiras quando:
x = 2, veja: 3x – 4 = 2 3x = 2 + 4 à 3x = 6 à x = 2
y = 1, veja: 3y = 7 – 4 à 3y = 3 à y = 1
Assim os conjuntos são verdadeiros (V) e com soluções (S) = 2 e 1 respectivamente.
Equação do 1º grau
Agora que foi definido o termo equação, pode-se definir o que é equação do primeiro grau, como toda equação que satisfaça a forma:
ax + b = 0
Onde, tem-se:
a e b , são as constantes da equação, com a ≠ 0 (diferente de zero)
Observe:
4x + 10 = 1 a = 4 b = 10 >> constantes (4,10)
3x – 6 = 0 a = 3 b = 6 >> constantes (3,6)
Exemplo de fixação:
x + 2 = 6 »
Assim, o número que substitui o “x” na equação acima, tornando a sentença “verdadeira”, é o número 4, pois, 4 + 2 = 6. Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando uma propriedade já informada em tutoriais anteriores:
ax + b = 0 » ax = - b x = -b/a
Obs.: É possível transformar uma equação em outra que seja equivalente à primeira, porém esta segunda na forma mais simples de se efetuar cálculos. É possível somar ou subtrair, multiplicar ou dividir um mesmo número, que seja diferente de zero (≠0), aos membros da equação dada no problema. Exemplo:
x – 4 = 0 » x –4 + 2 = 0 + 2 » x = 4 2x = 4 » 3.2x = 3.4 » x = 2
Resolução de uma equação do 1º grau
Resolver uma equação do primeiro grau significa achar valores que estejam em seus domínios e que satisfaçam à sentença do problema, ou seja, será preciso determinar de forma correta a raiz da equação. Na forma simples de entender a solução de equação do primeiro grau, basta separar as incógnitas dos números, colocando-os de um lado do sinal de igual (=). Desta forma, os números ficam de um lado da igualdade e do outro lado as constantes. Para assimilar, veja alguns exemplos de fixação resolvidos:
a) Determine o valor do X:
4x – 12 = 8 4x = 8 + 12 4x = 20 x= 20/4 » x = 5 >> V = {5}
b) Qual o valor da incógnita x:
2 – 3.(2-4x) = 8 2 – 6 + 12x = 8 12x = 8 - 2 + 6 12x = 6 + 6
x = 12/12 » x = 1 >> V = {1}
Mais alguns exemplos de equações de primeiro grau:
x + 5 = 10 5x – 3 = 28 3x + 12 = 4
2x – 4 = 0 10 + 4.(5.4x) = 5 – (x+8)
Observe que, como informado no método de resolução dos problemas que envolvem equações do primeiro grau, sempre é colocado de um lado às incógnitas e de outros os números, para que se tenha assim a solução verdadeira da questão. Por tanto ao resultado da raiz dá-se o nome de conjunto “V” ou conjunto de solução “S”. Lembre-se: Os valores do conjunto soluções têm que ser satisfeitos pelos valores que estejam agregados na sentença.
Por que a constante “a” tem que ser diferente de zero (a ≠ 0)
Observe:
a ≠ 0 >> b ≠ 0, temos:
x = -b/a S = {-b/a}
a ≠ 0 >> b = 0, temos:
x = 0/a S = {0}
Agora se a constante “a” for igual = 0 (a = 0)
b ≠ 0 >> x = -b/0
V = {0}
Desta forma, é possível notar que quando a constante “a” for igual à zero ( a = 0), temos a conjunto “V”, chamado de conjunto Verdade, igual a zero V = {0}, não existindo, neste caso, raiz ou solução que satisfaça a equação, e a equação então é denominada de “impossível” ou “sem solução”. Ainda, se tratando da forma (a ≠ 0), observe a seguinte suposição de equação:
b = 0 >> 0x = 0 >> V = R
Assim, é possível dizer que a equação é indeterminada, pois qualquer valor para a incógnita x, se torna raiz ou solução da equação ou do problema dado.
Incógnita com valor negativo
Quando efetuarmos as devidas reduções de termos, pode acontecer que o coeficiente que estiver acompanhando a variável seja um número negativo (-). Caso isto ocorra, o correto a fazer é multiplicar ambos os membros da equação por (-1), que é um dos princípios da multiplicação, já estudados em tutoriais anteriores. Veja alguns exemplos:
a) 4x – 2 = 6x + 8
Reduzindo os termos:
4x – 6x = 8 + 2 -2x = 10
Verifique que o número que acompanha o “x”, ou seja, o coeficiente, tem o valor negativo (-), então multiplica-se os termos da equação por (-1). Assim, temos aos valores:
-2x = 10 .(-1) 2x = - 10
Verifique então, que após multiplicar os termos por (-1), temos o coeficiente da incógnita “x” na forma positiva, agora sim podendo prosseguir com a operação.
x = -10/2 >> x = -5
Como o valor de x = -5, então V = {-5}
Observação:
O método de resolução de equações do 1º grau, no qual coloca-se os valores de um lado do sinal (=) e as incógnitas do outro é apenas um "macete". Veja o que realmente ocorre:
Observe:
2x + 4 = 8
Adicionamos (-4) a ambos os lados, a fim de deixarmos o valor de 2x "separado". Veja o que acontece:
2x + 4 - 4 = 8 - 4
2x = 4 x = 2 V={2}
A forma de cálculo acima é a exposição do que ocorre na solução de equações do 1º grau. A "grande dica" de "separar" os números de um lado e as incógnitas de outro pode ser utilizado para agilizar nos cálculos dos problemas e sentenças.
Exercícios:
01) Determine os valores da incógnita “x”, nas expressões abaixo:
a) 2x + 6 = 0
2x = -6
x = -6/2
x = -3 >> V = {-3}
b) 5x + 4 = 5 + 4x
5x – 4x = 5 – 4
x = 1 >> V = {1}
c) -10x + 6 = -18 + 2x
-10x – 2x = -18 – 6
-12x = -24 .(-1), multiplicar por (-1), pois a variável x está com valor negativo
12x = 24
x = 24/12 >> x = 2 >> V = {2}
EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS VARIAVEIS
Definição:
É definido como equação do primeiro grau com duas variáveis sejam elas, x e y, a toda e qualquer equação que pode ser indicada nas formas:
ax + by = c
Sendo que: a e b, são números e diferentes de zero ( a e b ≠ 0 ), respectivamente.
Exemplos:
3x – 4y = 2 » os número “x” e “y” que são desconhecidos recebem os termos de incógnita.
3y + 4x = 7 » os número “y” e “x” que são desconhecidos recebem os termos de incógnita.
Solução de equação do 1º grau com “duas” variáveis
As equações do primeiro grau que estejam na forma com duas variáveis, x e y, possuem infinitas soluções.
Estas soluções infinitas podem ser obtidas dando valores “soltos” para uma das variáveis, e em seguida efetua-se o cálculo da outra variável.
Encontrando estes valores de x e y, significa dizer que foi obtido o par ordenado de números x e y, o qual tornará a sentença ou o problema fornecido verdadeiro.
Exemplo de fixação:
a) 3x + 2y = 20
Como já informado esta equação tem infinitas soluções:
1) x = 2
3x + 2y = 20 ⇒ 3.2 + 2y = 20 ⇒ 2y = 20 – 6 ⇒ 2y = 14 ⇒ y = 7
Assim, temos o par ordenado x e y (2 e 7).
Veja se a sentença é verdadeira:
3x + 2y = 20 (quando x = 2, y = 7) ⇒ 3.2 + 2.7 = 20 ⇒ 6 + 14 = 20 ⇒ 20 = 20
b) 2x + 4y = 8
Agora tomaremos os valores de x e y respectivamente:
x = 2 e y = 6 ⇒ 2x + 4y = 8 ⇒ 2.2 + 4.6 = 8 ⇒ 4 + 24 = 8 ⇒ 28 ≠ 8
Desta forma, o par 2 e 6 não é a solução verdadeira para o a sentença acima.
Linguagem textual para soluções de problemas
Para que se possam resolver problemas com equações do 1º grau, é preciso traduzir alguns enunciados para linguagem em moldes matemáticos.
Observe abaixo:
Exercícios Resolvidos:
01) Em um sítio, entre ovelhas e cabritos, há 200 animais. Se o número de ovelhas é igual a 1/3 do número de cabritos, determine quantas são o número de ovelhas e quantos são o número de cabritos.
R.: Este problema se trata de uma equação do 1º grau com duas variáveis (ovelhas e cabritos).
Solução:
x = ovelhas y = cabritos
Sabendo que x é igual 1/3 do total de 200 animais, temos o valor de ovelhas = 67 (valor arred.)
assim:
x + y = 200 ⇒ 67 + y = 200 ⇒ y = 200 – 67 ⇒ y = 133 >> S = {67,133}
Existem, desta forma, 67 ovelhas e 133 cabritos, totalizando 200 animais.
02) Em um quintal existem porcos, avestruz e galinhas, fazendo um total de 60 cabeças e 180 pés. Quantos são os animais de duas patas e quantos são os de quatro patas?
R.: Este problema se trata de uma equação do 1º grau com duas variáveis (animais de duas patas e animais de quatro patas).
Solução:
x = animais de duas patas (avestruz e galinhas)
y = animais de quatro patas (porcos)
x + y = 60 >> x = 60 – y
Assim: animais de duas pernas 2x, e quatro pernas 4y, logo são observados.
2x + 4y = 180
2(60 – y) + 4y = 180
120 – 2y + 4y = 180
2y = 180 – 120
2y = 60 >> y = 30
x + y = 60
x + 30 = 60
x = 60 -30 >> x = 30 >> S = {30,30}
Existem, então, 30 animais de 02 pernas e 30 animais de 04 pernas.
03) A soma de dois números dados é 8 e a diferença entre estes mesmos números é igual a 4. Quais sãos os números?
R.: Este problema se trata de uma equação do 1º grau com duas variáveis (aplica-se aqui o estudo da linguagem textual).
x + y = 8
x – y = 4
x + x + y – y = 8 + 4
2x = 12
x = 12/2 >> x = 6
x – y = 4
6 – y = 4
-y = 4 – 6
-y = -2 (.-1) >> y = 2 >> S = {6,2}
Exercícios Propostos:
04) Num determinado Estado, quando um veículo é rebocado por estacionar em local proibido, o motorista paga uma taxa fixa de R$ 76,88 e mais R$ 1,25 por hora de permanência no estacionamento da polícia. Se o valor pago foi de R$ 101,88 o total de horas que o veículo ficou estacionado na polícia corresponde a:
a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24
05) Do total de laudas de um processo, um técnico judiciário digitou, em um mesmo dia, 1/5 pela manhã e 2/3 à tarde. Se as 24 laudas restantes foram digitadas no dia seguinte, o total de laudas desse processo era:
a) 180 b) 200 c) 240 d) 250 e) 300
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